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%ENDHEAD

%\setcounter{tocdepth}{4}
%\setcounter{secnumdepth}{4}

\pagestyle{myheadings}
\markright{\mbox{\bf A. Hofmeier \& A. Schmidt, GEL-Laborversuch Z72}}

\begin{document}

\begin{titlepage}
\title{GEL Laborbericht\\Versuch: Reihenschwingkreis}
\author{Andreas Hofmeier \and Axel Schmidt}
%%\date{12. Mai 2003}
%%\date{}
%\end{titlepage}
\end{titlepage}


\maketitle
%\centerline{\epsffile{titeltabelle.eps}}
\begin{abstract}
%ZUSAMMENFASSUNG
%\begin{titlepage}
%\title{}
%.\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\ Die
.\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\ Die
Schaltung vierhielt sich bis auf kleinere Bauteil- und Messtoleranzen
wie berechnet. Ziemlich genau bei der errechneten Resonanzfrequenz
($f_0 = 503Hz$) erhielten wir in beiden Messungen ein Maximum der
Ausgangsspannung ($U_{R_a}$). Daraus folgt, dass die Eigenschaft der
Resonanzfrequenz nahezu ausschließlich von $L$ und $C$ bestimmt
wird. Im Resonanzfall heben sich die Blindanteile des Kondensators und
der Spule auf, der Scheinwiderstand ist am kleinsten. Bei $R_a =
100\Omega$ erhielten wir eine erheblich größere maximale
Ausgangspannung verglichen mit der Messung $R_a = 400\Omega$. Bei $R_a
= 100\Omega$ ist allerdings die Bandbreite ($\Delta f$) erheblich
kleiner und $f_c$ und $f_L$ liegen näher zusamen, woraus folgt, dass
die Güte größer/besser ist. Die Güte steigt mit kleinerwerdendem
$R_a$. Dies ist durch das Verhältnis von pendelnden Blindleistungen
zwischen Spule und Kondensator zur Wirkleistung in $R_{Cu} + R$ zu
begründen.
\end{abstract}
\newpage

\tableofcontents
\newpage

\section{Fragen}

\subsection{Warum ist es zweckmäßig die Eingangsspannung konstant zu halten?}

Die Ausgangsspannung ist abhängig von der Frequenz, Eingangsspannung,
Bauteileigenschaften (u.a. $R$, $C$, $L$) und Umweltbedingungen
(Temperatur, etc).  Um vergleichbare Ergebnisse zu erhalten, muss alles
konstant gehalten werden, bis auf die Eingangsgröße, von  welcher
abhängig man die Ausgangsspannung messen möchte.


\subsection{Was versteht man unter den Begriffen Resonanzfrequenz, Bandbreite und Güte?}

Bei der Resonanzfrequenz heben sich die Blindanteile der Spule und des
Kondensators auf, so dass nur noch der Widerstand ($R$ und $R_{Cu}$)
mit seinem realen Anteil übrig ist, also der imaginäre Anteil des
Schwingkreises verschwindet. Im Resonanzfall ist der Scheinwiderstand
am kleinsten.
\newline
\newline
Die Bandbreite ($b_w$) ist definiert als Frequenzbereich, in dem die
Schwingungsgröße größer oder gleich dem $\frac{1}{\sqrt{2}}$'tel des
Maximums dieser Größe ($S_\varrho$) ist. In diesem Bereich liegt die
Phasenverschiebung ($\varphi$) zwischen der Schwingungsgröße und der
Eingangsgröße betragsmäßig unter 45°.
\newline
\centerline{\epsffile{Z72.Guete.eps}}
\newline
\newline
Die Güte, welche das Verhältnis von pendelnden Blindleistungen
zwischen Spule und Kondensator zur Wirkleistung darstellt, kann durch
das Verhältnis von Kennleitwert zu Wirkleitwert errechnet werden. Der
Kennleitwert ist $\sqrt{L/C}$. Der Wirkleitwert ist der Kehrwert des
bei der gefragten Frequenz gemessenen Widerstandes. Also $Q =
\frac{\sqrt{\frac{L}{C}}}{R} = \frac{f_0}{\Delta f}$

\section{Berechnung mit den gegebenen Werten}
Gegebenen Werte: $U_E = 1V$, $L = 200mH$, $C = 500nF$, $R_a =
100\Omega$, $R_a' = 400\Omega$

\subsection{berechnete Frequenzen}
%\begin{itemize}
%\item Resonazfrequenzen
\begin{eqnarray*}
  f_0 & = & \frac{1}{2 \pi \sqrt{L C}}\\\\
%  f_0 & = & \frac{1}{2 \pi \sqrt{0,2\:H 500 10^{-9}\:F}}\\\\
  f_0 & = & 503.29  \:Hz
\end{eqnarray*}

%\item Resonazfrequenz
%Resonanzfrequenz:
\begin{eqnarray*}
  f_{0L} & = & \frac{1}{2 \pi \sqrt{L C}} \frac{1}{\sqrt{1-\frac{R^2 C}{2L}}}\\\\
  f_{0L_{100\Omega}} & = & 506,46  \:Hz\\
  f_{0L_{400\Omega}} & = & 562,69  \:Hz
\end{eqnarray*}

\begin{eqnarray*}
  f_{0C} & = & \frac{1}{2 \pi \sqrt{L C}} \sqrt{1-\frac{R^2 C}{2L}}\\\\
  f_{0C_{100\Omega}} & = & 500,13  \:Hz\\
  f_{0C_{400\Omega}} & = & 450,15  \:Hz
\end{eqnarray*}

%\item Bandbreite
%\begin{eqnarray*}
%  f_{B_{100\Omega}} & = & \frac{R}{2 L} = 250Hz\\\\
%  f_{B_{400\Omega}} & = & \frac{R}{2 L} = 1kHz\\\\
%\end{eqnarray*}

\newpage

\section{Versuchsdurchführung}
\subsection{$R_a = 100\Omega$ (mit Multimetern gemessen)}
\centerline{\epsffile{Z72.100.eps}}
\newpage

\subsubsection{Phasenverschiebung und Zeigerdiagramme}

Ablesen der Werte aus den gemessenen Werten erfolgte über lineare Interpolation.
\newline
\newline
$U_A = U_R \thickapprox \frac{1}{\sqrt{2}} 0,874V \thickapprox 0.618V$ \\
$f_1 \thickapprox \frac{(488-350)Hz}{(0.887-0.224)V}*(0.618-0.244)V + 350Hz \thickapprox 428Hz$ \\
$U_{f1_C} \thickapprox 4,35V$ \\
$U_{f1_L} \thickapprox 3,64V$ \\
$\alpha_1 \thickapprox ArcCos\frac{U_a}{U_0} = ArcCos\frac{0,874V}{1V} = -39°$ \\
$\alpha_1' \thickapprox \alpha_1 \thickapprox ArcTan\frac{U_{f1_L} - U_{f1_C}}{U_A} = ArcTan\frac{-0.89V}{0.874V} = -46°$
\newline
\newline
$f_2 \thickapprox \frac{(510-650)Hz}{(0.790-0.266)V}*(0.618-0.266)V + 650Hz \thickapprox 556Hz$ \\
$U_{f2_C} \thickapprox 3,64V$ \\
$U_{f2_L} \thickapprox 4,26V$ \\
$\alpha_2' \thickapprox -\alpha_1 \thickapprox ArcTan\frac{U_{f1_L} - U_{f1_C}}{U_A} = ArcTan\frac{0.62V}{0.874V} = 35°$\\
$f_B = \Delta f \thickapprox f_2 - f_1 = 556Hz - 428Hz = 128Hz$ \\\\
Die relativ große Abweichung der Winkel voneinander ist durch
Meßungenauigkeiten und Approximation der Werte auf Basis der Meßwerte
zu erklären.
\newline
\newline
\centerline{\epsffile{Z72.ZGD.eps}}


\subsection{$R_a = 400\Omega$ (mit PC gemessen)}
\centerline{\epsffile{Z72.400.eps}}
\newpage

\subsubsection{Güte}

$\frac{1}{\sqrt{2}} 0,973V = 0.688V$ \\
$f_1 \thickapprox \frac{(440-350) Hz}{(0.929-0.673) V}*(0.688-0.673) V + 350Hz \thickapprox 355Hz$ \\
$f_2 \thickapprox \frac{(565-699) Hz}{(0.899-0.656) V}*(0.688-0.656) V + 699Hz \thickapprox 681Hz$ \\
$f_B = \Delta f \thickapprox f_2 - f_1 = 681Hz - 355Hz = 326Hz$ \\\\
$Q_{L_{100}} = \frac{f_0}{\Delta f} = \frac{f_0}{f_2 - f_1} \thickapprox \frac{503Hz}{556Hz - 428Hz} \thickapprox 3.93$\\
$Q_{L_{400}} = \frac{f_0}{\Delta f} = \frac{f_0}{f_2 - f_1} \thickapprox \frac{503Hz}{681Hz - 355Hz} \thickapprox 1.54$\\\\
Errechnete Güte aus gegebenen Bauteilwerten \\
$Q_0 = \frac{1}{R_{Cu}}\sqrt{\frac{L}{C}} = \frac{1}{5.7\Omega}\sqrt{\frac{200mH}{500nF}} = 110.96$ \\
$Q_{L_{100\Omega}} = \frac{1}{R_{Cu} + R}\sqrt{\frac{L}{C}} = \frac{1}{(5.7 + 100)\Omega}\sqrt{\frac{200mH}{500nF}} = 5.98$\\\\
$Q_{L_{400\Omega}} = \frac{1}{R_{Cu} + R}\sqrt{\frac{L}{C}} = \frac{1}{(5.7 + 400)\Omega}\sqrt{\frac{200mH}{500nF}} = 1.56$\\\\
Die gemessenen Werte der Lastgüte stimmen bei der PC-Messung sehr gut
mit den berechneten Werten überein. Bei der Messung mit Hilfe der
Multimeter ist eine erhebliche Abweichung erkennbar. Daraus ist zu
folgern, das die Messung mit Hilfe des PCs genauer ist, vorallem da
die Frequenz ebenfalls gemessen wurde. Die Güte steigt mit sinkendem
$R_a$ und erreicht ihr Maximum bei $R_a = 0\Omega$, welches praktisch
nicht erreicht werden kann. Dieses Verhalten ist durch die Definition
der Güte zu erklären: Je kleiner $R_a$ ist, umso kleiner die
Wirkleistung. Güte = Verhältnis von pendelndender Blindleistung zu
Wirkleistung.
\newline
\newline
Aus gemessenen Werten Abgelesene Frequenzen:
\newline 
$f_0 \thickapprox 500Hz$ \\
$f_C \thickapprox 440Hz$ \\
$f_L \thickapprox 565Hz$


\end{document}
