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%ENDHEAD

\pagestyle{myheadings}
\markright{\mbox{\bf A. Hofmeier \& A. Schmidt, GEL-Laborversuch N39}}

\begin{document}

\begin{titlepage}
\title{GEL Laborbericht\\Versuch: Überprüfung des Überlagerungssatz\\und Ersatzspannungsquelle}
\author{Andreas Hofmeier \and Axel Schmidt}
%\date{12. Mai 2003}
%\date{}
\end{titlepage}

\maketitle
%\centerline{\epsffile{titeltabelle.eps}}
%\begin{abstract}
%\end{abstract}
\newpage

\tableofcontents
\newpage

\section{Berechnung der Strom- und Spannungsverhältnisse}

Die folgenden Berechnungen gehen davon aus, dass die Spannungsquellen
und die Amperemeter keinen Innenwiederstand haben. Von den
Spannungsmessgeräten wird ein unendlicher Innenwiderstand angenommen.

\centerline{\epsffile{N39.Schaltung.eps}}

Es gilt: $R_{12} = R_1 + R_2$
\newline

Mit $U_{B1} = 2V$, $U_{B2} = 0V$ und $R_a = 50\Omega$.
\begin{align*}
I^1_1& = \frac{U_{B1}}{R_{12} + R_3 \parallel R_a} = \frac{2V}{100 \Omega + 100/3 \Omega} = 15mA
  & U^1_{R_1} = I^1_1 * R_1 = 15mA * 40 \Omega = 0.6V \\
U^1_{R_{12}}& = R_{12}*I^1_1 = 100 \Omega * 15mA  = 1,5V
  & U^1_{R_2} = I^1_1 * R_2 = 15mA * 60 \Omega = 0.9V \\
U^1_a& = U_{B1} - U_{R_{12}} = 2V - 1,5V = 0,5V \\
I^1_2& = - \frac{U^1_a}{R_3} = - \frac{0,5V}{100 \Omega} = -5mA
  & U^1_{R_3} = I^1_2 * R_3 = -5mA * 100 \Omega = -0.5V \\
I^1_3& = - \frac{U^1_a}{R_a} = - \frac{0,5V}{50 \Omega} = -10mA \\
\end{align*}

Mit $U_{B1} = 0V$, $U_{B2} = 4V$ und $R_a = 50\Omega$.
\begin{align*}
I^2_2& = \frac{U_{B2}}{R_3 + R_{12} \parallel R_a} = \frac{4V}{100 \Omega + 100/3 \Omega} = 30mA \\
U^2_{R_3}& = I^2_2 * R_3 = 30mA * 100 \Omega = 3V \\
U^2_a& = U_{B2} - U^2_3 = 1V \\
I^2_1& = - \frac{U^2_a}{R_{12}} = - \frac{1V}{100 \Omega} = - 10mA 
  & U^2_{R_1} = I^2_1 * R_1 = - 10mA * 40 \Omega = -0.4V \\
I^2_3& = - \frac{U^2_a}{R_a} = - \frac{1V}{50 \Omega} = - 20mA 
  & U^2_{R_2} = I^2_1 * R_2 = - 10mA * 60 \Omega = -0.6V \\
\end{align*}

Mit $U_{B1} = 2V$, $U_{B2} = 4V$ und $R_a = 50\Omega$.
\begin{align*}
I_1& = I^1_1 + I^2_1 = 10mA - 10mA = 5mA
  & U_{R_1} = I_1 * R_1 = 5mA * 40 \Omega = 0.2V \\
& & U_{R_2} = I_1 * R_2 = 5mA * 60 \Omega = 0.3V \\
I_2& = I^1_2 + I^2_2 = -5mA + 30mA = 25mA 
  & U_{R_3} = I_2 * R_3 = 25mA * 100 \Omega = 2,5V \\
I_3& = I^1_3 + I^2_3 = -10mA - 20mA = -30mA \\
I_1& + I_2 + I_3 = 0 \\
\\
U_a& = -I_3 * R_a = 30mA * 50 \Omega = 1,5V \\
  & = -I_2 * R_3 + 4V = -2,5V + 4V = 1,5V \\
  & = U^1_a + U^2_a = 0,5V + 1V = 1,5V \\
\end{align*}

\section{Berechnung der Ersatzspannungs- und Stromquelle}

Die folgenden Berechnungen gehen davon aus, dass die Spannungsquellen
und die Amperemeter keinen Innenwiederstand haben. Von den
Spannungsmessgeräten wird ein unendlicher Innenwiderstand angenommen.

\centerline{\epsffile{N39.Ersatzquelle.eps}}

\begin{align*}
R_i& = (R_1 + R_2) \parallel R_3 = \frac{100\Omega * 100\Omega}{200\Omega} = 50 \Omega \\
U^1_q& = U_{B1} * \frac{R_3}{R_1 + R_2 + R_3} = 2V * \frac{100 \Omega}{(40 + 60 + 100) \Omega} = 1V \\
U^2_q& = U_{B2} * \frac{R_1 + R_2}{R_1 + R_2 + R_3} = 4V * \frac{(40 + 60) \Omega}{(40 + 60 + 100) \Omega} = 2V \\
U_q& = U^1_q + U^2_q = 1V + 2V = 3V \\
I_k& = \frac{U_q}{R_I} = \frac{3V}{50\Omega} = 60mA
\end{align*}

\section{Widerstandsdekade}

Eine Widerstandsdekade ist eine Reihenschaltung von Widerständen, deren beide
Enden herausgeführt sind (a, b). Über einen Schalter kann zusätzlich
noch zwischen den Widerständen abgegriffen werden (s). Durch
Verwendung aller drei Anschlüsse kann das Verhältnis entsprechend
eingestellt werden:

\centerline{\epsffile{N39.Dekade.eps}}

\section{Ströme und Spannungen in einem nichtlinearem Netz}

Als erstes muss der Strom-Spannungszusammenhang des nichtlinearen
Bauteils gegeben sein. Zum Beispiel als $I = f(U)$ oder als
U/I-Kennlinie.

Durch geschicktes wählen des aktiven und passiven Zweipols ist es
möglich das nichtlineare Bauteil als passives Bauteil an die
Ersatzquelle anzuschließen. (Also die Schaltung entsprechend umformen,
um diese so betrachten zu können) Wenn der Graph des nichtlinearen
Bauteils gegeben ist, kann der Arbeitspunkt durch Einzeichnen der
Geraden der Ersatzquelle gefunden werden.

Ansonsten muss man sich der Mathematik bedienen und die Schaltung mit
Hilfe von Differentialgleichungen lösen.

Es ist auch möglich den Arbeitspunkt in einen Bereich zu legen, in dem
das nichtlineare Bauteil annähernd linear ist um mit einer Näherung
zu Arbeiten.

\section{Leistung im linearem Netz}

Die Leistung ist definiert als $P = U * I$. Da sich $U$ und $I$ linear
verhalten, folgt daraus, dass sich das Produkt von beiden quadratisch
verhält.

\section{Versuchsergebnisse}

\centerline{\epsffile{N39.Ergebnisse.eps}}

\subsection{Ersatzquelle, Schaltung a}

\begin{align*}
U_q& = 2,99V \\
I_k& = 58mA \\
R_i& = \frac{\Delta U_a}{\Delta I_3} = \frac{2,99V}{58mA} = 51,55 \Omega
\end{align*}
\newline
Was eine Abweichung von ca. 3 \% vom errechneten Wert darstellt.

Die Abweichungen der Meßwerte (Schaltung a) von den berechneten Werten
ist durch Meßungenauigkeiten und das Ignorieren der Innenwiderstände
von Spannungsquellen und Meßgeräten zu erklären.

\subsection{Schaltung b -- Diode }

Durch Ersetzen des Widerstandes $R_1$ durch eine Diode (Schaltung b)
konnte die nichtgültigkeit des Überlagerungssatzes bei Verwendung
nichtlinearer Bauteile verifiziert werden.

Das Belastungsverhalten also der Ersatzinnenwiderstand des linearen
Netzwerkes entspricht der Steigung der Gerade und ist linear. Ist ein
nichtlineares Bauteil im Netzwerk, ist die Ausgabekennlinie ebenfalls
nicht linear. Die Diode teilt die Kennlinie in zwei lineare Bereiche
(Diode leitend, nichtleitend) auf. Diese beiden Teilbereiche sind für
sich betrachtet annähernd linear.

\end{document}
