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%ENDHEAD

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%\setcounter{tocdepth}{4}
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\pagestyle{plain}
\pagestyle{myheadings}
\markright{\mbox{\bf A. Hofmeier, EMT Laborversuch Filterschaltungen}}
%\markboth{\mbox{\bf A. Hofmeier, EMT Laborversuch FS}}{\mbox{\bf A. Hofmeier, EMT Laborversuch FS}}

\begin{titlepage}
\title{EMT Laborbericht\\Versuch: FS\\Frequenzgang, Filterschaltungen}
\author{Andreas Hofmeier}
%\date{12. Mai 2003}
\date{}
\end{titlepage}


\begin{document}
\maketitle

\begin{tabular}{rl}

Auftraggeber: & Prof. Dr.-Ing. M. Mevenkamp, Fachhochschule Bremen\\
Durchführung am: & 13.10.2003\\
Ort der Durchführung: & FH Bremen, Neustadtswall 30\\
                      & Raum: E502, Laborplatz für Versuch FS\\


Abgabe am: & 27.10.2003\\

\\

\end{tabular}

Team B4:

\begin{tabular}{rcll}
Andreas Hofmeier  & & Protokollführer,& \_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\\
                       & & Messungen,&\\
                       & & Toleranzen,&\\
                       & & Auswertung &\\
 & & &\\
Axel Schmidt      & & Messungen & \_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\\
 & & &\\
Y.Fabrice Fodouop & & Aufbau des & \_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\\
 & &  aktiven Tiefpasses &\\


\end{tabular}




\begin{abstract}
  .
  \\
  Ziel diese Versuches war es, dass Verhalten von Hoch-, Tief- und
  Bandpässen 1. Ordnung zu verstehen und Löterfahrung zu sammeln.
  \\\\
  Zu diesem Zweck wurden ein Tiefpass, ein Hochpass und vier
  verschiedene Bandpässe untersucht. Zwei dieser Bandpässe waren
  passiv mit verschiedenen unteren Grenzfrequenzen und die anderen
  zwei waren passiv (einer mit aktivem Tiefpass) mit gleichen
  Grenzfrequenzen.
  \\\\
  Wir kamen zu dem Ergebnis, dass passive Filter (Hochpass, Tiefpass)
  zwar im Leerlauf die berechneten Werte aufweisen, sich aber bei
  Belastung anders verhalten. Bei einem passiven Bandpass
  (Kettenschaltung von passiven Tief und Hochpass) weichen die
  errechneten Grenzfrequenzen erheblich von den gemessenen ab. Aktive
  Filter verhalten sich hier stabiler.
\end{abstract}
\newpage

\tableofcontents
\newpage

\section{Vorbetrachtungen zum Versuch}


\subsection{Der Tiefpass}

\centerline{\epsffile{Tiefpass.eps}}
\label{TP}

Die linke Schaltung zeigt einen passiven und die rechte einen aktiven
Tiefpass 1. Ordnung. Da der aktive Tiefpass einen Operationsverstärker
nutzt, hat er einen sehr hohen Eingangswiderstand (belastet
Spannungsquelle fast nicht) und einen sehr kleinen Ausgangswiderstand
(wird weniger durch anschließen eine weiteren Stufe beeinflusst).
Siehe auch Kap \ref{BPmA} (S \pageref{BPmA}). Im Folgendem betrachte
ich einen unbelasteten passiven Tiefpass. (Die Ergebnisse gelten
ebenfalls für den aktiven Tiefpass, wenn beide Widerstände dieser
Schaltung gleich groß sind.)

Die Schaltung kann als ein Spannungsteiler betrachtet werden, wobei
ein Widerstand (in diesem Fall der Kondensator) frequenzabhängig ist.
Bei kleiner Frequenz ($f \rightarrow 0$) stellt der Kondensator einen
unendlichen Widerstand dar. Somit fällt an ihm die gesamte
Eingangsspannung ab ($U_2 = U_1$). Bei einer großen Frequenz ($f
\rightarrow \infty$) stellt der Kondensator einen Kurzschluss dar, was
dazu führt, dass die gesamte Eingangsspannung am Widerstand abfällt
($U_2 = 0$).

Einfach ausgedrückt, ein Tiefpass lässt nur ``tiefe'' Frequenzen durch.

Der Übergang zwischen dem Durchlassbereich ($f \rightarrow 0$) und dem
Sperrbereich ($f \rightarrow \infty$) ist fließend, um ihn berechnen
zu können, bedienen wir uns der komplexen Rechnung:

$\underline{F}(2 \pi f) = \underline{F}(\omega) =
\frac{\underline{U_2}}{\underline{U_1}} = \frac{\frac{1}{j \omega
    C}}{R + \frac{1}{j \omega C}} = \frac{\frac{1}{j \omega
    C}}{\frac{j \omega RC + 1}{j \omega C}} = \frac{1}{1 + j \omega
  RC}$

$\lvert F(2 \pi f) \rvert = \lvert F(\omega) \rvert = \frac{U_2}{U_1}
= \frac{1}{\sqrt{1 + (\omega RC)^2}}$ (siehe S\pageref{Betrag},
Kap. \ref{Betrag})


\subsubsection{Die Grenzfrequenz}

\label{Grenzfrequnz}

Die Grenzfrequenz trennt den Sperr- vom Durchlassbereich und wurde
Zweckmäßig auf $U_2 = \sqrt{\frac{1}{2}} U_1$ festgelegt. Setzt man
diese Festlegung in die Formel für den Betrag der Verstärkung ein,
so kommt man zu dem Ergebnis, dass ``Blindwiderstand $X_C$ gleich
Wirkwiderstand $R$'' eine Bedingung für die Grenzfrequenz ist.

$\lvert F(2 \pi f_g) \rvert = \frac{U_2}{U_1} = \frac{1}{\sqrt{2}}
\approx 0.707 \Rightarrow \sqrt{1 + (2 \pi f_g RC)^2} = \sqrt{2}
\Rightarrow 1 = 2 \pi f_g RC \Rightarrow \frac{1}{2 \pi f_g C} = R
\Rightarrow \boxed{X_C = R \Rightarrow f_g = \frac{1}{2 \pi RC}}$


\subsubsection{Der Amplitudengang}

\label{Betrag}

Der einfachereren Anschauung halber betrachtet man Betrag und Phase
der Verstärkung getrennt. Hier der Betrag:

$\lvert F(2 \pi f) \rvert = \lvert F(\omega) \rvert = \frac{U_2}{U_1}
= \frac{1}{\sqrt{1 + (\omega RC)^2}}$


Um die ``Verstärkung'' eines Tiefpasses besser darstellen zu können,
werden üblicherweise die Frequenz sowie der Amplitudengang
logarithmisch dargestellt. Die für die Verstärkung (Dämpfung)
verwendete Einheit dB steht für Dezibel und wird
folgendermaßen errechnet:

$n dB = 20 \log(v)$

Wobei v die Verstärkung darstellt. In diesem Fall also:

$n dB = 20 \log(\frac{U_2}{U_1})$

Die Darstellung der Verstärkung in $dB$ abhängig von der Frequenz $f$
bezeichnet man als Amplitudengang. Der Tiefpass dämpft das
Eingangssignal mit steigender Frequenz stärker, daher wird $v$ kleiner
als $1$ und $dB$ negativ.

Im Fall der Grenzfrequenz ($f = f_g$ bzw. $\omega = 2 \pi f_g$) gilt:

$-3 dB = 20 log(\frac{\sqrt{\frac{1}{2}}U_1}{U_1}) = 20
log(\frac{1}{\sqrt{2}})$ \\

\begin{multicols}{2}[][1cm]

\centerline{\epsffile{Tiefpass.gra.AmplG.eps}}

Besonders hervorzuheben sind an dieser Stelle, dass die zwei Bereiche
etwas oberhalb der Grenzfrequenz ($f > f_g$, Sperrbereich) und etwas
unterhalb der Grenzfrequenz ($f < f_g$, Durchlassbereich) linear
verlaufen. Legt man an die Gerade des Sperrbereiches eine Tangente an,
so schneidet diese den Punkt ($f_g$; $0$).

\end{multicols}

Diese Darstellung wird auch als \textbf{Bode-Diagramm} bezeichnet. In
manchen Fällen wird die Phasenverschiebung (Phasengang) ebenfalls
(zusätzlich zum Amplitudengang) im Bode-Diagramm dargestellt.

\subsubsection{Der Phasengang}

Um die Phasenverschiebung zu bestimmen, vergleicht man die Phase der
Ausgangsspannung mit der der Eingangsspannung:

$\varphi(f) = \angle(U_2,U_1) = \arctan(\frac{\Im\{\underline{F}\}}{\Re\{\underline{F}\}})$

$\underline{F}(f) = \frac{1}{1 + j 2 \pi fRC} = \underbrace{\frac{1}{1
    + (2 \pi fRC)^2}}_{\Re\{\underline{F}\}}+j \underbrace{(-\frac{2 \pi f RC}{1 + (2 \pi
    fRC)^2})}_{\Im\{\underline{F}\}}$\\

$\varphi(f) = \angle(U_2,U_1) = \arctan(\frac{\frac{- 2 \pi fRC}{1 + (2
    \pi fRC)^2}}{\frac{1}{1 + (2 \pi fRC)^2}}) = - \arctan(2 \pi fRC)$

Durch einsetzen der Grenzfrequenz

$\varphi(f) = - \arctan(2 \pi f_g RC) = - \arctan(2 \pi \frac{1}{2 \pi
RC} RC) = - \arctan(1) = -45°$

bekommt man das Ergebnis, dass bei der Grenzfrequenz die
Phasenverschiebung $-45°$ beträgt.

\begin{multicols}{2}[][1cm]

Da der Operationsverstärker in der aktiven Schaltung als Inverter
betrieben wird, verschiebt er das Eingangssignal zusätzlich um $180°$.
Bei der Grenzfrequenz erreicht er eine Gesamtphasenverschiebung von
$135°$. Das rechts stehende Diagramm stellt den Frequenzgang der passiven
Tiefpasses da. Es zeigt die Phasenversiebung abhängig von der
Frequenz. Wobei die Frequenz logarithmisch dargestellt wird.\\

\centerline{\epsffile{Tiefpass.gra.PhV.eps}}

\end{multicols}
\newpage
\subsection{Der Hochpass}
\label{HP}

Die Schaltung stellt einen passiven Hochpass 1. Ordnung dar.

\centerline{\epsffile{Hochpass.eps}}

Der Hochpass lässt im Vergleich zum Tiefpass nur ``hohe'' Frequenzen
durch. Die Definitionen bezüglich Grenzfrequenz
(S\pageref{Grenzfrequnz}, Kap. \ref{Grenzfrequnz}) gelten auch in
diesem Fall.

Der Durchlass und Sperrbereich sind beim Hochpass vertauscht, der
Graph (Amplitudengang) ist also an der Geraden $f_g$ gespiegelt.

\begin{tabular}{rl}

Frequenzgang:
&
$\underline{F}(2 \pi f) = \underline{F}(\omega) =
\frac{\underline{U_2}}{\underline{U_1}} = \frac{1}{1 - j
  \frac{1}{\omega RC}}$\\

Amplitudengang:
&
$\lvert F(2 \pi f) \rvert = \lvert F(\omega) \rvert = \frac{U_2}{U_1}
= \frac{1}{\sqrt{1 + (-\frac{1}{\omega RC})^2}}$\\

Phasengang:
&
$\varphi(f) = \angle(U_2,U_1) = \arctan(\frac{1}{2 \pi fRC})$\\

\end{tabular}


\newpage
\subsection{Verzerrung eines Rechtecksignales}
\subsubsection{durch einen Tiefpass}
\label{VeRdeTP}

Gibt man ein symmetrisches Rechtecksignal auf einen Tiefpass, so
erhält man in etwa dieses Ausgangssignal:
\\\\
\epsfxsize=13.3cm\centerline{\epsffile{rechteck.tp.eps}}
\\
Links: $\tau \ll T$, die Zeitkonstante ($\tau = RC$) ist viel kleiner
als die Periodendauer des Rechtecksignales ($T = \frac{1}{f}$). Der
Kondensator kann sich vollständig aufladen, bevor er wieder entladen
wird. Wird die das Verhältnis noch extremer, nähert sich das
Ausgangssignal weiter dem Eingangssignal.
 
Mitte: $\tau \approx T$, der Kondensator wird fast linear auf und
entladen.

Rechts: $\tau \gg T$, der Kondensator stellt einen Kurzschluss dar. Das
Ausgangssignal ist Kurzgeschlossen, also 0.


\subsubsection{durch einen Hochpass}
\label{VeRdeHP}

Gibt man ein symmetrisches Rechtecksignal auf einen Hochpass, so
erhält man in etwa dieses Ausgangssignal:
\\\\
\epsfxsize=13.3cm\centerline{\epsffile{rechteck.hp.eps}}
\\
Links: $\tau \ll T$, der Widerstand des Kondensators ist extrem viel
größer als der des Widerstandes. Somit fällt fast die gesamte
Eingangsspannung an C ab. Ausgangsspannung ist annähernd 0. Beim
Vorzeichenwechsel der Eingangsspannung entstehen Nadelimpulse, da zum
Umladen des Kondensators kurz ein Strom fließen muss, welcher einen
Spannungsabfall am Widerstand (Ausgangsspannung) verursacht.
 
Mitte: $\tau \approx T$, der Kondensator wird fast linear auf und
entladen.

Rechts: $\tau \gg T$, der Kondensator stellt einen Kurzschluss dar. Das
Eingangssignal wird fast ohne Verzerrungen zum Ausgangssignal.



\section{Versuchsdurchführung}

\subsection{Versuchsaufbau}

\epsfxsize=13.3cm\centerline{\epsffile{Messschaltung.eps}}

Mit dem Frequenzgenerator haben wir die Eingangsspannung $U_1$ erzeugt,
welche wir mit Hilfe des AC-Voltmeter auf 5V eingestellt haben. Die
Ausgangsspannung haben wir mit einem PC-Meßsystem erfasst, welches
halbautomatisch (die Messung musste manuell gestartet werden) die
Ausgangsspannung und deren Frequenz gemessen hat.


\subsection{Passiver Tiefpass $R = 1.6k\Omega$, $C = 10nF$}

\subsubsection{Meßergebnisse: Amplitudengang}

\centerline{\epsffile{pTief.m.eps}}

Die in den Tabellen Fett gedruckten Zeilen entsprechen den Meßwerten
an der Grenzfrequenz.

\subsubsection{Auswertung}

\centerline{\epsffile{pTief.AusSp.eps}}
\centerline{\epsffile{pTief.dB.eps}}

\label{GTE}

Der Amplitudengang verlief wie bei einem Tiefpass erwartet: Im
Durchlasbereich ($0Hz$ bis etwas vor der Grenzfrequenz) wird die
Eingangsspannung nahezu Vollständig an den Ausgang weitergeleitet. Im
Graph (Amplitudengang in dB) stellt sich dies durch eine fast
waagerechte Gerade bei $0dB$ dar. Im Sperrbereich (etwas nach der
Grenzfrequenz bis $100kHz$) nimmt die Ausgangsspannung exponentiell mit
steigender Frequenz ab. Im Graph stellt sich dies in einer ca.
$-45°$ Geraden dar, deren Tangente durch den Punkt ($f_g$; 0)
verläuft.

Während der Messung mussten wir die Eingangsspannung dauernd
nachsteuern. Dies ist auf die Tatsache zurückzuführen, dass die
Spannungsquelle (Frequenzgenerator) einen Innenwiderstand hat. Bei
steigender Frequenz sinkt der Widerstand des Kondensators. Somit wird
auch der Eingangswiderstand vom Tiefpass kleiner. Betrachtet man nun
den Innenwiderstand des Frequenzgenerators und den Tiefpass als
Reihenschaltung, so wird klar, dass bei steigender Frequenz mehr
Spannung am Innenwiderstand abfällt.  Wir mussten die Eingangsspannung
konstant halten, um vergleichbare Ergebnisse zu erzielen -- wir
wollten die Ausgangsspannung in Abhängigkeit von der Frequenz und
nichts anderem (Eingangsspannung, Temperatur, etc) messen.

Die errechneten Werte stimmen ziemlich genau mit den gemessenen
überein. Die absolute Abweichung (Differenz Rechnerwert, Meßwert
bezogen auf Eingangsspannung) beläuft sich auf Maximal 1.37\%. Dieser
Spitzenwert wird bei der Grenzfrequenz erreicht. Über und unter der
Grenzfrequenz nimmt der Fehler mit steigender Entfernung zur
Grenzfrequenz auf minimal 0.23\% ab. Die relative Abweichung (Differenz
Rechnerwert, Meßwert bezogen auf Rechenwert) ist minimal 0.23\% bei
100Hz und steigt auf 2.86\% bei 100kHz. Bei der Grenzfrequenz liegt sie
bei 1.93\%.
\\\\
\centerline{\epsffile{pTief.Diff.eps}}

Die steigende relative Abweichung lässt darauf schließen, dass die
Messung mit sinkender Spannung ungenauer wird. Diese Beobachtung
stimmt mit den Toleranz-Angaben im Datenblatt des PC-Meßsystems
überein. Der Fehler bei der Messung setzt sich aus absoluten Fehler
(bezogen auf Meßbereich) plus relativen Fehler (bezogen auf Meßwert)
zusammen.

Abgeschätzten Angaben aus dem Datenblatt (Die Angaben konnten nicht
genau erfolgen, da zu viele Größen im Spiel waren: z.B. Frequenzbereich,
alter des Gerätes, Temperatur):

Absoluter Fehler von weniger als 0.05\% im verwendeten Meßbereich von
10V. Relativer Fehler von weniger als 1\%.

Beispiel: 

Absoluter Fehler: ca. $\pm 5mV$.

Relativer Fehler bei einer Messung von 5V: ca. $\pm 50mV$. Summe: ca.
$\pm 55mV$, was einen gesamt relativen Fehler von ca. 1.1\% darstellt.

Relativer Fehler bei einer Messung von 3V: ca. $\pm 30mV$. Summe: ca.
$\pm 35mV$, was einen gesamt relativen Fehler von ca. 1.2\% darstellt.

(Aufgrund dieser Tatsache wird bei Analogmessgeräten geraten im
``hinterem Drittel'' des Meßbereiches zu Messen.)

Als weitere Fehlerquelle kommt hinzu, dass die Eingangsspannung nicht
genauer als $\pm 100mV$ eingestellt werden konnte. Die Einstellung der
Eingangsspannung wurde Aufgrund der Messung das AC Multimeter am
Funktionsgenerator vorgenommen.

Die Bauteiltoleranzen wurden ignoriert, da Teilweise keine Angaben
zur Verfügung standen.

\subsubsection{Meßergebnisse: Phasengang}

Die Phasenverschiebung wurde in unserem Versuch nicht gemessen. Daher
habe ich hier nur die Rechenwerte dargestellt. Wie bei einem Tiefpass
zu erwarten verläuft diese von $0°$ bei ``kleiner'' Frequenz, über
$-45°$ an der Grenzfrequenz zu annähernd $-90°$ bei $f \rightarrow \infty$.

\centerline{\epsffile{pTief.PhV.eps}}


\subsection{Aktiver Tiefpass $R = 3.3k\Omega$, $C = 4.7nF$}
\subsubsection{Meßergebnisse: Amplitudengang}
\centerline{\epsffile{aTief.m.eps}}

\subsubsection{Auswertung}

\centerline{\epsffile{aTief.AusSp.eps}}
\centerline{\epsffile{aTief.dB.eps}}

Auch diese Graphen verlaufen wie bei einem Tiefpass erwartet. Siehe
Abschnitt \ref{GTE} auf Seite \pageref{GTE}.

Bei dieser Meßreihe mussten wir die Eingangsspannung nur sehr gering
nachstellen. Dies ist auf den (dank der
Operationsverstärkerschaltung) hohen Eingangswiderstand
zurückzuführen, welcher die Spannungsquelle fast nicht belastet, also
fast keinen Spannungsabfall am Innenwiderstand des Frequenzgenerators
verursacht.

Die gemessenen Werte stimmen ziemlich genau mit den Errechneten
überein. Auch in diesem Fall steigt der relative Fehler mit sinkender
Ausgangsspannung von minimal 0.07\% auf maximal 7.06\%. An der
Grenzfrequenz ist eine Abweichung von 0.66\% festzustellen. Der
absolute Fehler ist in diesem Fall zufällig Verteilt und erreicht
maximal 0.83\%. An der Grenzfrequenz liegt er bei 0.46\%.
\\\\
\centerline{\epsffile{aTief.Diff.eps}}



\subsection{Der Passive Bandpass}

Ein passiver Bandpass ist eine Hintereinanderschaltung von einem passiven Tiefpass
und einem passiven Hochpass.
\\\\
\centerline{\epsffile{Bandpass.eps}}

%\subsubsection{TP: $R_1 = 1.6k\Omega$, $C_1 = 10nF$; HP: $R_2 =
%  16k\Omega$, $C_2 = 10nF$}
\subsection{Passiver Bandpass I:\\TP: $R_1 = 1.6k\Omega$, $C_1 = 10nF$; HP: $R_2 =
  16k\Omega$, $C_2 = 10nF$}
\centerline{\epsffile{Band1.m.eps}}

Die bei der Grenzfrequenz erwartete Ausgangsspannung:

$U_2 = \frac{5V}{\sqrt{2}} \approx 3.536V$

im Vergleich zu der gemessenen Ausgangsspannung:

\begin{tabular}{lllll}

Frequenz & Meßwert & Differenz & relativer Fehler bezogen auf Rechenwert\\

0.99 kHz & 3.32V & 0.21V & 6.07\% \\
9.95 kHz & 3.30V & 0.24V & 6.76\% 

\end{tabular}


\subsubsection{Auswertung}


\centerline{\epsffile{Band1.AusSp.eps}}

Wie der Name schon vermuten lässt, lässt ein Bandpass nur ein gewisses
Frequenzband durch. Dies wird erreicht, indem ein Tiefpass die
kleineren Frequenzen vor dem Band filtert und ein nachgeschalteter
Hochpass die größeren Frequenzen nach dem Band abschneidet.

Stellt man die Ausgangsspannung in Abhängigkeit von der
logarithmischen Frequenz da, so erhält man einen Berg (stellvertretend
für das Band), dessen Spitze durch die obere und die untere
Grenzfrequenz begrenzt ist.
\\\\
\centerline{\epsffile{Band1.dB.eps}}

Wird die Dämpfung (negative Verstärkung; Ausgangsspannung auf
Eingangsspannung normiert) ebenfalls logarithmischen dargestellt, so
erhält man eine Pyramide, deren Spitze nicht ganz gerade
Abgeschnitten wurde. Die nicht gerade Spitze kommt zustande, da sich
die Pässe vor (HP) bzw. nach (TP) der Grenzfrequenz nicht ganz linear
verhalten.

\subsubsection{Vergleich der errechneten zur gemessenen Grenzfrequenz}

Die Grenzfrequenzen wurde aus dem Diagramm ``Amplitudengang in dB''
abgelesen: Sie sind lauf Definition bei $-3dB$ erreicht, also bei den
Schnittpunkten des Graphen mit der $-3dB$-Linie.

\begin{tabular}{lllll}

errechnet & gemessen & Differenz & relativer Fehler bezogen auf Rechenwert\\

0.99 kHz & 1.19 kHz & 0.20 kHz & 20.2\% (Hochpass) \\
9.95 kHz & 8.38 kHz & 1.57 kHz & 15.8\% (Tiefpass) 

\end{tabular}

\label{BPGFABW}

Diese recht hohe Abweichung ist durch die Belastung einer Stufe durch
eine Zweite zu erklären. Betrachtet man den Tiefpass als
Spannungsteiler, wird schnell klar, dass ein zugeschalteter Hochpass
eine Parallelschaltung zum Kondensator ($C_1$) darstellt. Durch eine
Parallelschaltung eines Widerstandes (in diesem Fall einer
Reihenschaltung von $R_2$ und $C_2$) wird der Widerstand kleiner.
Somit verändert sich das Spannungsteilungsverhältnis, am jetzt
kleineren Widerstand ($C_1$ = Eingang zweiter Stufe -- Hochpass) fällt
weniger Spannung ab. Da die Grenzfrequenz laut Definition bei $-3dB$
festgelegt ist, verschiebt sie sich auf eine höhere Frequenz (beim
Tiefpass).  Die im Abschnitt \ref{Grenzfrequnz} aufgestellte Formel
für die Grenzfrequenz ist nicht mehr gültig!

Die zweite Grenzfrequenz (vom Hochpass) verschiebt sich auf eine
niedrigere Frequenz, da die $-3dB$-Grenze wegen der zu niedrigen
Eingangsspannung des Hochpasses früher erreicht wird.

Abhilfe für dieses Problem würde ein Impedanzwandler zwischen den
Stufen schaffen, da ein Operationsverstärker einen sehr großen
Eingangswiderstand (belastet den Ausgang des Tiefpasses nicht) und
einen sehr kleinen Ausgangswiderstand hat (wird vom zuschalten des
Hochpasses fast nicht beeinflusst). 


\subsection{Passiver Bandpass II:\\TP: $R_1 = 1.6k\Omega$, $C_1 = 10nF$; HP: $R_2 = 16k\Omega$, $C_2 = 0.1\mu F$}
\centerline{\epsffile{Band2.m.eps}}

\subsubsection{Auswertung}

Die bei der Grenzfrequenz erwartete Ausgangsspannung:

$U_2 = \frac{5V}{\sqrt{2}} \approx 3.536V$

im Vergleich zu der gemessenen Ausgangsspannung:

\begin{tabular}{lllll}

Frequenz & Meßwert & Differenz & relativer Fehler bezogen auf Rechenwert\\

0.10 kHz & 3.33V & 0.21V & 5.86\% \\
9.95 kHz & 3.26V & 0.28V & 7.80\% 

\end{tabular}

\centerline{\epsffile{Band2.AusSp.eps}}
\centerline{\epsffile{Band2.dB.eps}}

Da die Grenzfrequenzen bei diesem Bandpass weiter auseinanderliegen,
erhalten wir ein breiteres Band. 

\subsubsection{Vergleich der errechneten zur gemessenen Grenzfrequenz}

\begin{tabular}{lllll}

errechnet & gemessen & Differenz & relativer Fehler bezogen auf Rechenwert\\

0.10 kHz & 0.12 kHz & 0.02 kHz & 20\% (Hochpass) \\
9.95 kHz & 8.38 kHz & 1.57 kHz & 16\% (Tiefpass) 

\end{tabular}

Eine Erklärung für die relativ hohe Abweichung der Werte wurde bereits
im Abschnitt \ref{BPGFABW} auf Seite \pageref{BPGFABW} gegeben.


\subsection{Vergleich beider passiven Bandpässe}
\centerline{\epsffile{Band12V.eps}}

Um beide Bandpässe gut vergleichen zu können, habe ich hier die
Amplitudengänge beider Pässe übereinandergelegt. Da der Hochpass in
beiden Pässen der selbe war, liegen die Graphen ab etwa der oberen
Grenzfrequenz (Grenzfrequenz vom Hochpass) ziemlich genau
übereinander.

Hier die Differenz der letzten acht Meßwerte. Absolut bezieht sich auf
5V und relativ auf den Meßwert des ersten Bandpasses.
\\\\
\centerline{\epsffile{Band12V.Diff.eps}}

\newpage
\subsection{Simulierter Bandpässe (passiv, einmal mit einem aktivem
  Tiefpass) TP: $R_1 = 3.3k\Omega$, $C = 4.7nF$; HP: $R_2 =
  16k\Omega$, $C = 0.1\mu F$}

Einige Steckverbindungen in diesem Versuch mussten mit ziemlicher
Gewalt ganz ``reingewürgt'' werden um Kontakt zu bekommen, was ich --
um Beschädigungen der Geräte vorzubeugen -- gerne vermeide.  Auf Grund
dieser Probleme (finden des Fehlers) haben wir die letzte Meßreihe
nicht mehr geschafft. Daher habe ich die Werte mit MultiSIM 2001
Simuliert.
\\\\
\epsfxsize=13.3cm\centerline{\epsffile{apBand.sch.eps}}

Die Frequenz der Spannungsquellen $V_1$ und $V_2$ wurde während der
Simulation von $10Hz$ auf $100kHz$ erhöht. Die Ausgangsspannung für
den passiven Bandpass wurde über $R_1$ gemessen.  Diese Messung habe
ich zusätzlich durchgeführt, um einen Vergleich zwischen einem
Bandpasses mit passiven Tiefpass und einem mit aktiven Tiefpass zu
erhalten. Die zweite (geforderte) Messung wurde über $R_4$
abgegriffen.

\subsubsection{Simulationsergebnisse}

\centerline{\epsffile{BandAP.m.eps}}

Die bei der Grenzfrequenz erwartete Ausgangsspannung:

$U_2 = \frac{5V}{\sqrt{2}} \approx 3.536V$

im Vergleich zu der gemessenen Ausgangsspannung:

\begin{tabular}{lllll}

Frequenz & Typ & Meßwert & Differenz & relativer Fehler bezogen auf Rechenwert\\

0.99 kHz  & passiv & 3.16V & 0.38V & 10.26\% \\
0.99 kHz  & aktiv & 3.53V & 0.01V & 0.20\% \\
10.26 kHz & passiv & 3.19V & 0.35V & 9.91\% \\
10.26 kHz & aktiv & 3.58V & 0.04V & 1.19\% 

\end{tabular}

\centerline{\epsffile{BandAP.AusSp.eps}}
\centerline{\epsffile{BandAP.dB.eps}}

\subsubsection{Vergleich der errechneten zur gemessenen Grenzfrequenz}

\begin{tabular}{rllll}

errechnet & gemessen & Differenz & relativer Fehler bezogen auf Rechenwert\\

0.99 kHz & 1.52 kHz & 0.53 kHz & 53\% (Hochpass) \\
10.26 kHz & 6.86 kHz & 3.40 kHz & 33\% (Tiefpass)

\end{tabular}

Wie bereits im Abschnitt \ref{BPGFABW} auf Seite \pageref{BPGFABW}
ausgeführt, ist die recht hohe Abweichung (komplett passiver Bandpass)
bei der Grenzfrequenz durch Belastung mit einer Zusätzlichen Stufe zu
erklären.

\label{BPmA}
An diesem Beispiel ist die Wirkung einer aktiven Stufe gut zu erkennen:
Die Abweichungen der Grenzfrequenzen sind sehr gering. Dies ist
auf die Tatsache zurückzuführen, dass die erste Stufe (Tiefpass) einen
Operationsverstärker nutzt. Der Ausgangswiderstand eines
Operationsverstärkers ist sehr klein im Vergleich zum minimalen
Eingangswiderstand ($R_4$, da bei hohen Frequenzen $X_C = 0$) der
zweiten Stufe (Hochpass). Daraus folgt, dass der Spannungsabfall am
Innenwiderstand des OPs sehr klein ist, dass heißt die volle
Ausgangsspannung der ersten Stufe wird auf die Zweite übertragen. Also
bleibt die Grenzfrequenz der zweiten Stufe unverändert.

Schaltet man einen hohen Widerstand (Eingangswiderstand der zweiten
Stufe) parallel zu einem kleinem (Ausgangswiderstand der ersten
Stufe), ist der Gesamtwiderstand annähernd der kleine Widerstand. Da
sich also der Ausgangswiderstand der ersten Stufe fast nicht ändert,
werden ihre internen Eigenschaften ebenfalls fast nicht geändert. Die
Grenzfrequenz der ersten Stufe ist stabil.

Bei der Verwendung von aktiven Stufen (1. Ordnung) kann man die
Gesamtausgangsspannung (Amplitudengang) errechnen, indem man die unter
Kapitel \ref{TP} (S\pageref{TP}) und \ref{HP} (S\pageref{HP})
genannten Formeln hintereinander ausführt. Also die Eingangsspannung
des Bandpasses in die Formel der ersten Stufe eingesetzt und das
Ergebnis in die Formel für die zweite Stufe...

Die Abweichung der zweiten Grenzfrequenz würde sich allerding bei
Belastung der zweiten Stufe extrem erhöhen, da die zweite Stufe eine
passive Stufe darstellt.

Da im passiven Bandpass sich beide Stufen gegenseitig ``runterziehen''
ist die Ausgangsspannung bzw. das Übertragungsverhalten schlechter
(kleiner) als das des Bandpasses mit aktivem Tiefpass. Durch das
Zusammenbrechen der Spannung wird die $-3dB$ Grenze an einer anderen
Stelle geschnitten. Das heißt, die Grenzfrequenzen rücken näher
zusammen.

\centerline{\epsffile{BandAP.PhV.eps}}

Da der Operationsverstärker als Inverter geschaltet ist, verschiebt er
die Spannung um $-180°$. Die Kurve liegt also um $180°$ nach unten
verschoben. Der Sprung dieser Kurve ist damit zu erklären, dass die
ArcTan-Funktion immer das Ergebnis liefert, welches am nächsten zu
$0°$ liegt. Aus der trigonometrischen Rechnung wissen wir, dass eine
Verschiebung um $n2\pi$ oder $n 360°$ (mit $n \in
\mathbb{Z}$) wieder den selben Winkel liefert. Also ist eine um
$+180°$ verschobene Kurve gleich einer welche um $-180°$ verschoben
wurde. Daher kann man sich den je anderen Teil der Kurve oben oder
unten angehängt vorstellen, beides ist richtig.


\section{Messung der Grenzfrequenz mit dem Oszilloskop}

Für die folgenden Messungen wurde eine symmetrische Rechteckspannung
auf den zu vermessenden Pass gegeben. Die Ausgangsspannung des Passes
wurde mit Hilfe eines Oszilloskops dargestellt und für weitere
Auswertungen abgelesen.

\subsection{Tiefpass ($R = 1.6k\Omega$, $C = 10nF$) -- rise-time}

Die Grenzfrequenz eines Tiefpasses kann über die Anstiegszeit
berechnet werden. Die Anstiegszeit ist die Zeit, welche das
Ausgangssignal braucht um von 10\% auf 90\% anzusteigen. Auf dem
Schirm des Oszilloskops sind 0\%, 10\%, 90\% und 100\% Markierungen
zu finden. Um nun die Anstiegszeit ablesen zu können wählt man die
Volt-Base so, dass das Ausgangssignal von 0 bis 100\% geht. Beispiel
für Ausgangssignalverlauf siehe: Kap. \ref{VeRdeTP}
(S\pageref{VeRdeTP}) -- Bild oben, links.


\begin{tabular}{|rl|}
\hline
Abgelesen: & $n = 4.3$\\
Time-Base: & $tb = 0.1ms$\\
Tastkopf: & $tk = \frac{1}{10}$\\
\hline
Anstiegszeit & $t_r = n * tb * tk = \frac{0.1ms * 4.3}{10} = 43 * 10^{-6}s$\\
Gemessene Grenzfrequenz: & $f \approx \frac{0.35}{t_r} = \frac{0.35}{43 * 10^{-6}s} =
8.14 kHz$\\
\hline
Errechnete Grenzfrequenz: & $f_g = \frac{1}{2 \pi RC} = \frac{1}{2 \pi
* 1600\Omega * 10nF} = 9.95 kHz$\\
\hline
\end{tabular}

Die große Abweichung des gemessenen zum errechneten Wert wird durch das
ungenaue Verfahren und die ungenaue Ablesung des Oszilloskops
verursacht.


\subsection{Hochpass ($R = 16k\Omega$, $C = 10nF$) -- Dachabfall}

Die Grenzfrequenz eines Hochpasses kann auch über den Dachabfall
berechnet werden. Der Dachabfall beträgt bei der Grenzfrequenz 10\%.
Auch bei dieser Messung macht man sich die Markierungen (0\%, 90\% und
100\%) zu nutze, indem man das Ausgangssignal von 0 bis 100\%
darstellen lässt und die Frequenz so lange variiert, bis das ``Dach''
zwischen 90\% und 100\% liegt. Beispiel für Ausgangssignalverlauf
siehe: Kap. \ref{VeRdeHP} (S\pageref{VeRdeHP}) -- Bild unten in der Mitte.

\begin{tabular}{|rl|}
\hline
Abgelesene Frequenz: & $f_a = 12.73 kHz$\\
Gemessene Grenzfrequenz: & $f \approx \frac{0.2}{\pi}f_a = 810 Hz$\\
\hline
Errechnete Grenzfrequenz: & $f_g = \frac{1}{2 \pi RC} = \frac{1}{2 \pi
* 16k\Omega * 10nF} = 995 Hz$\\
\hline
\end{tabular}

Die ungenaue Messung ist auf das ungenaue Verfahren und Ablesefehler
zurückzuführen. Ich habe zum Beispiel den Fehler gemacht, die Frequenz
zu erhöhen, bis das Dach meiner Meinung nach in dem 10\% Bereich lag.
Besser wäre es gewesen die Frequenz weiter zu erhören um zu sehen, wie
lange das Dach zwischen den 10\% bleibt. Das tut es nämlich in einem
größeren Bereich. Von diesem Bereich hätte man nun dem besten Wert
aussuchen sollen, statt sich mit dem erst besten zufrieden zu
geben. Auf diese Weise hätte man ein genaueres Ergebnis erhalten.


\section{Geräteliste mit Toleranzen}
%\vspace{1cm}
%\hspace{-10cm}

%\begin{rotate}{90}
\centerline{\epsffile{Geraete.eps}}
%\end{rotate}

\end{document}
